Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=m，銳角∠A=α，用m和α表示⊙O的半徑R為

 

，△ABC的面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：作直徑BD，連接CD，如圖1，根據(jù)圓周角定理由BD為直徑得∠BCD=90°，∠D=∠A=α，則根據(jù)正弦的定義得到sinD=

BC

BD

，則BD=

m

sinα

，即⊙O的半徑R=

m

2sinα

；當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時(shí)，△ABC的面積的最大值，此時(shí)點(diǎn)A優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，如圖2，AO的延長線交BC于E，連接OB，根據(jù)垂徑定理的推理得
AE⊥BC，BE=

1

2

BC=

1

2

m，根據(jù)圓周角定理得∠BOE=∠BAC=α，然后在Rt△OBE中，根據(jù)正切的定義得tan∠BOE=

BE

OE

，可計(jì)算出OE=

m

2tanα

，則AE=OA+OE=

m

2sinα

+

m

2tanα

，然后根據(jù)三角形面積公式求解

解答：解：作直徑BD，連接CD，如圖1，
∵BD為直徑，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠A=α，
∴sinD=sinα=

BC

BD

，
∴BD=

m

sinα

，
∴⊙O的半徑R=

m

2sinα

；
當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時(shí)，△ABC的面積的最大值，此時(shí)點(diǎn)A優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，如圖2
AO的延長線交BC于E，連接OB，
∵點(diǎn)A優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=

1

2

m，
∵∠BOE=∠BAC=α，
∴在Rt△OBE中，tan∠BOE=tanα=

BE

OE

，
∴OE=

1 2 m

tanα

=

m

2tanα

，
∴AE=OA+OE=

m

2sinα

+

m

2tanα

，
∴△ABC的面積=

1

2

•m•（

m

2sinα

+

m

2tanα

）
=（

1

4sinα

+

1

4tanα

）m²．
故答案為

m

2sinα

；（

1

4sinα

+

1

4tanα

）m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了解直角三角形．