Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．則PB+PE的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：由B、D關(guān)于AC對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時(shí)PB+PE的值最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可．

解答：解：如圖：作等腰直角三角形ABC關(guān)于AC的對(duì)稱直角三角形ADC，
連接DE，與AC交于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短得到ED就是PB+PE的最小值，
∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠DAC=45°，
∴∠DAE=90°，
∵B、D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AD=AB=8，
∴DE=

AD2+AE2

=

62+82

=10．
∴PB+PE的最小值為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱-最短路線問題等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出PE+PB=DE的長是解此題的關(guān)鍵．