Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．

（1）求證：△OCP∽△PDA；

（2）若tan∠PAO＝，求邊AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝10．

【解析】

（1）只需要證明兩對(duì)對(duì)應(yīng)角分別相等即可證明相似（2）根據(jù)題①可知CP＝4，設(shè)BO＝x，則CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），即可解答

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．

由折疊，可知：∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD+∠CPO＝90°．

∵∠APD+∠DAP＝90°，

∴∠DAP＝∠CPO，

∴△OCP∽△PDA；

（2）解：由折疊，可知：∠APO＝∠B＝90°，AP＝AB，PO＝BO，tan∠PAO＝ ＝ ＝ ．

∵△OCP∽△PDA，

∴

∵AD＝8，

∴CP＝4．

設(shè)BO＝x，則CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），

∴AB＝2x＝CD＝PD+CP＝2（8﹣x）+4，

解得：x＝5，

∴AB＝10．