Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD=60°，E為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)E分別作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：

①∠GEF=60°；②CD=GF；③△GEF一定為等腰三角形；④E在弧BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)時(shí)刻使得△GEF為等邊三角形．

其中正確的命題是_____．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可證到∠GEF=60°；②連接OE，取OE的中點(diǎn)O′，連接O′F，GO′，易證點(diǎn)E、G、O、F四點(diǎn)共圓，延長(zhǎng)GO′交 O′于R，連接RF．利用三角函數(shù)可證到CD=GF；③運(yùn)用反證法就可得到△GEF不一定為等腰三角形；④由于∠GEF=60°，要使得△GEF為等邊三角形，只需要EG=EF即可，在 O′中只需∠COE=∠BOE即可，在 O中，只需點(diǎn)E在的中點(diǎn)即可．

①∵EF⊥AB，EG⊥OC，

∴∠EGO=∠EFO=90°.

∴∠GEF+∠GOF=180°.

∵∠GOF=180∠COD=180°60°=120°

∴∠GEF=180°120°=60°.

故①正確.

②連接OE,取OE的中點(diǎn)O′,連接O′F,GO′，如圖所示.

∵∠EGO=∠EFO=90°,點(diǎn)O′是OE的中點(diǎn),

∴O′G=O′F=OE.

∴點(diǎn)E.G、O、F在以點(diǎn)O′為圓心,O′O為半徑的圓上.

延長(zhǎng)GO′交O′于R，連接RF.

則有∠GRF=∠GEF=60°.

∵GR是O′的直徑,∴∠GFR=90°.

∴GF=GRsin∠GRF=OEsin60°=OE=OC=CD.

故②正確.

③假設(shè)△EGF一定是等腰三角形，

∵∠GEF=60°，∴△EGF一定是等邊三角形.

∴EG與EF一定相等.

但E為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B.C重合)，顯然EG與EF不一定相等.

∴假設(shè)不成立.

故③錯(cuò)誤.

④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，

則有∠COE=∠BOE.

∴EG=EF.

∵∠GEF=60°，

∴△EGF是等邊三角形.

故④正確.

故答案為：①②④.