Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合）．BE的垂直平分線交AB于M，交DC于N．
（1）設(shè)AE=x，四邊形ADNM的面積為S，寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AE為何值時(shí)，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）連接ME，設(shè)MN交BE于P，根據(jù)題意，得
MB=ME，MN⊥BE．（2分）
過N作AB的垂線交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF．
在Rt△EBA與Rt△MNF中，
∵AB=FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，
∴（2-AM）²=x²+AM²．
4-4AM+AM²=x²+AM²，即4-4AM=x²，
解得AM=1-

1

4

x²．（5分）
所以梯形ADNM的面積S=

AM+DN

2

×AD=

AM+AF

2

×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-

1

4

x²）+x
=-

1

2

x²+x+2
即所求關(guān)系式為s=-

1

2

x²+x+2．（8分）

（2）s=-

1

2

x²+x+2=-

1

2

（x²-2x+1）+

5

2

=-

1

2

（x-1）²+

5

2

故當(dāng)AE=x=1時(shí)，四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是

5

2

．