Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，OC=4，AO=2OC，且拋物線對稱軸為直線x=-3．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）己知矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點(diǎn)F、G分別在AC、BC上，設(shè)OD=m，矩形DEFG的面積為S，當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，連接DF并延長至點(diǎn)M，使FM=

2

5

DF，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-4，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵OC=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．
∴c=4，則拋物線解析式為y=ax²+bx+4．
∵AO=2OC，則AO=8，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0）．
又∵拋物線對稱軸為直線x=-3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，O）．
∴

0=64a-8b+4 0=4a+2b+4

，
解得

a=- 1 4 b=- 3 2

．
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-

1

4

x2-

3

2

x+4．（3分）

（2）∵矩形DEFG中FG∥ED，設(shè)FG與y軸交于點(diǎn)H，
∴△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB．
∴

FH

AO

=

CH

CO

=

HG

OB

，即

FH

8

=

m

2

．
∴FH=4m，故FG=5m．
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b₁，則

4=b1 0=3k+b1

，
解得

k=-2 b1=4

．
∴直線BC的解析式為y=-2x+4，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，-2m+4）
∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1）²+10（5分）
∵0≤m≤2，
∴當(dāng)m=1時(shí)，S最大．此時(shí)OD=1，OE=4，∴DE=5．
過M作MM₁⊥x軸于M₁，則△MM₁D∽△FED，
∴

MM1

FE

=

MD

DF

=

DM1

DE

∵FM=

2

5

DF，
∴

MD

DF

=

7

5

．則

MM1

2

=

DM1

5

=

7

5

．
∴MM1=

14

5

，DM₁=7，則OM₁=6．
∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-6，

14

5

)．（7分）

（3）存在．理由如下：
∵點(diǎn)Q在拋物線上，且橫坐標(biāo)為-4，
∴y_Q=6，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-4，6），
設(shè)P的坐標(biāo)為（0，n），在△BPQ中，
若∠BQP為直角，則PQ²+BQ²=BP²，
∴4²+（n-6）²+6²+（2+4）²=2²+n²，
解得n=10，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，10）．（8分）
若∠QBP為直角，則PQ²=BQ²+BP²，
∴4²+（6-n）²=6²+（2+4）²+2²+n²，
解得n=-2，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）．（9分）
若∠QPB為直角，則BQ²=BP²+PQ²，
∴6²+（2+4）²=4²+（n-6）²+2²+n²，
解得n1=3+

17

，n2=3-

17

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，3+

17

)或(0，3-

17

)．（11分）
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
（O，10）或（0，-2）或(0，3+

17

)或(0，3-

17

)．