精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+2x+c與y軸交于點(diǎn)D(0,3).
(1)直接寫出c的值;
(2)若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊),頂點(diǎn)為C點(diǎn),求直線BC的解析式;
(3)已知點(diǎn)P是直線BC上一個動點(diǎn),
①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時(shí)(點(diǎn)P不與B、C重合),過點(diǎn)P作PE⊥y軸,垂足為E,連接BE.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),△PBE的面積為s,求s與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出s的最大值;
②試探索:在直線BC上是否存在著點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P為圓心,半徑為r的⊙P,既與拋物線的對稱軸相切,又與以點(diǎn)C為圓心,半徑為1的⊙C相切?如果存在,試求r的值,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
分析:(1)將D(0,3),直接代入解析式求出即可;
(2)分別求出頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,4)以及令y=0得x1=-1,x2=3得出B(3,0),代入一次函數(shù)解析式即可得出直線BC的解析式;
(3)根據(jù)s=
1
2
PE•OE=
1
2
x(-2x+6)=-x2+3x
,求出s最大值即可,再根據(jù)當(dāng)⊙P與⊙C外切時(shí),以及當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí),分別得出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)c=3.

(2)由(1)知拋物線為:y=-x2+2x+3,配方得y=-(x-1)2+4
∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,4)
令y=0得x1=-1,x2=3,
∴B(3,0)
設(shè)直線BC解析式為:y=kx+b(k≠0),把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,
3k+b=0
k+b=4
,
解得:k=-2,b=6,
∴直線BC解析式為:y=-2x+6,

(3)①∵點(diǎn)P(x,y)在y=-2x+6的圖象上,
∴PE=x,OE=-2x+6
s=
1
2
PE•OE=
1
2
x(-2x+6)=-x2+3x

∴s=-x2+3x  (1<x<3),
s=-(x2-3x+
9
4
)+
9
4
=-(x-
3
2
2+
9
4

x=
3
2
符合1<x<3,
∴當(dāng)x=
3
2
時(shí),s取得最大值,最大值為
9
4
精英家教網(wǎng)
②答:存在.
如圖,設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)F,則CF=4,BF=2.
過P作PQ⊥CF于Q,則Rt△CPQ∽Rt△CBF
CQ
CF
=
PQ
BF
,即
CQ
4
=
r
2
,
∴CQ=2r,
當(dāng)⊙P與⊙C外切時(shí),CP=r+1.
∵CQ2+PQ2=CP2,
∴(2r)2+r2=(r+1)2
解得r=
1+
5
4
,(r=
1-
5
4
舍去).
此時(shí)P1(
5+
5
4
,
7-
5
2
),P2(
3-
5
4
,
9+
5
2
)

當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí),CP=|r-1|.
∵CQ2+PQ2=CP2,
∴(2r)2+r2=(r-1)2
解得r=
-1+
5
4
,(r=
-1-
5
4
舍去).
此時(shí)P3(
3+
5
4
,
9-
5
2
),P4(
5-
5
4
,
7+
5
2
)

∴當(dāng)⊙P與⊙C相切時(shí).
點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(
5+
5
4
,
7-
5
2
),P2(
3-
5
4
,
9+
5
2
)
P3(
3+
5
4
,
9-
5
2
),P4(
5-
5
4
,
7+
5
2
)

(點(diǎn)P的坐標(biāo)只寫1個不得分,寫出2個或3個得(1分),寫出4個得2分)
點(diǎn)評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及直線解析式的求法,根據(jù)圓與圓的相切時(shí)分類討論,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(24,0)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),將OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
的長度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn).反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,AC⊥x軸于點(diǎn)C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點(diǎn)D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點(diǎn)E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時(shí)滿足下列兩個條件:
(1)以原點(diǎn)O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標(biāo)上相應(yīng)字母)

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-4,0),B(0,3),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形(1),三角形(2),三角形(3),三角形(4),…,

(1)△AOB的面積是
6
6

(2)三角形(2013)的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是
(8052,0)
(8052,0)

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