Question

已知⊙O的半徑為5，由直徑AB的端點(diǎn)B作⊙O的切線，從圓周上一點(diǎn)P引該切線的垂線PM，M為垂足，連接PA，設(shè)PA=x，則AP+2PM的函數(shù)表達(dá)式為

 

，此函數(shù)的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先連接BP，AB是直徑，BP⊥BM，所以有，∠BMP=∠APB=90°，又∠PBM=∠BAP，那么有△PMB∽△PAB，
于是PM：PB=PB：AB，可求PM=

PB2

AB

=

102-x2

10

，從而有AP+2PM=x+

102-x2

5

=-

1

5

x²+x+20（0＜x＜10），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可求函數(shù)的最大值．

解答：解：如圖所示，連接PB，
∵∠PBM=∠BAP，∠BMP=∠APB=90°，
∴△PMB∽△PAB，
∴PM：PB=PB：AB，
∴PM=

PB2

AB

=

102-x2

10

，
∴AP+2PM=x+

102-x2

5

=-

1

5

x²+x+20（0＜x＜10），
∵a=-

1

5

＜0，
∴AP+2PM有最大值，沒有最小值，
∴y_最大值=

4ac-b2

4a

=

85

4

．
故答案為：AP+2PM=x+

102-x2

5

=-

1

5

x²+x+20（0＜x＜10），

85

4

，不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓中直徑所對(duì)的圓周角等于90°、求二次函數(shù)的最大值、弦切角定理．