Question

12．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=6cm，動點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C移動，動點Q從C出發(fā)以1cm/s的速度向點A移動，如果動點P、Q同時出發(fā)，要使△CBA與C、P、Q三點構(gòu)成的三角形相似，求所需要的時間是多少秒？

Answer 1

分析 若兩三角形相似，則由相似三角形性質(zhì)可知，其對應(yīng)邊成比例，據(jù)此可解出兩三角形相似時所需時間．

解答 解：設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC則$\frac{AC}{BC}$=$\frac{QC}{PC}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{t}{6-2t}$，解之得t=1.5；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC則$\frac{PC}{QC}$=$\frac{AC}{BC}$，$\frac{6-2t}{t}$=$\frac{3}{6}$，解之得t=2.4；
由P點在BC邊上的運動速度為2cm/s，Q點在AC邊上的速度為1cm/s，可求出t的取值范圍應(yīng)該為0＜t＜3，
驗證可知①②兩種情況下所求的t均滿足條件．所以可知要使△CPQ與△CBA相似，所需要的時間為1.5或2.4秒．

點評 本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用問題，并且需要用到分類討論的思想，解題時應(yīng)注意解答后的驗證．