Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E．
（1）求證：BE=CE；
（2）若AB=6，∠BAC=54°，求$\widehat{AD}$的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AE，利用圓周角定理推知AE是等腰△ABC的垂線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）如圖，連接OD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可以求得圓心角∠AOD的度數(shù)，然后利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行解答．

解答 （1）證明：如圖，連接AE．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BC．
又∵AB=AC，
∴AE是邊BC上的中線，
∴BE=CE；

（2）解：∵AB=6，
∴OA=3．
又∵OA=OD，∠BAC=54°，
∴∠AOD=180°-2×54°=72°，
∴$\widehat{AD}$的長(zhǎng)為：$\frac{72×π×3}{180}$=$\frac{6π}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．通過作輔助線，利用圓周角定理（或圓半徑相等）的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)是解題的難點(diǎn)．