Question

16．已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，連接BE、BD，過點A作AF⊥BE交BE于點F，連接FD．
（1）求證：△EAF∽△EBA；
（2）若AB=6，BC=8．求DF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形全等即可證明．
（2）作FM⊥AD于M，先利用勾股定理求出BE，利用$\frac{1}{2}$•AB•AE=$\frac{1}{2}$•BE•AF，求出AF，再利用勾股定理求出EF，根據(jù)$\frac{1}{2}$•AF•EF=$\frac{1}{2}$•AE•FM，求出FM，利用勾股定理求出AM，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AFE=∠EAB=90°，
∵∠AEF=∠AEB，
∴△EAF∽△EBA．
（2）解：作FM⊥AD于M，
∵AB=6，AD=8，AE=ED，
∴AE=ED=4，
在RT△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•AE=$\frac{1}{2}$•BE•AF，
∴AF=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$．
∵$\frac{1}{2}$•AF•EF=$\frac{1}{2}$•AE•FM，
∴FM=$\frac{24}{13}$，AM=$\sqrt{A{F}^{2}-F{M}^{2}}$=$\frac{36}{13}$，
∴DM=AD-AM=$\frac{68}{13}$，
∴DF=$\sqrt{F{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{13}）^{2}+（\frac{68}{13}）^{2}}$=$\frac{20\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用面積法求高，屬于中考常考題型．