Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，tan∠ABC=2．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)CD于點(diǎn)E、F，將拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸向上平移m個(gè)單位，使拋物線(xiàn)與線(xiàn)段EF（含線(xiàn)段端點(diǎn)）只有1個(gè)公共點(diǎn)．求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線(xiàn)的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，8），即 OC=8；

Rt△OBC中，OB=OCtan∠ABC=8× =4，

則點(diǎn)B（4，0）．

將A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式中，

得： ，

解得： ，

∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+8，

∵y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，9）

（2）解：設(shè)直線(xiàn)CD的表達(dá)式為y=kx+8，

∵點(diǎn)D（1，9），

∴直線(xiàn)CD表達(dá)式為y=x+8．

∵過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)CD于點(diǎn)E、F，

可得：E（﹣2，6），F(xiàn)（4，12）．

設(shè)拋物線(xiàn)向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（m＞0），

則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=﹣（x﹣1）2+9+m；

當(dāng)拋物線(xiàn)過(guò)E（﹣2，6）時(shí)，m=6，

當(dāng)拋物線(xiàn)過(guò)F（4，12）時(shí)，m=12，

∵拋物線(xiàn)與線(xiàn)段EF（含線(xiàn)段端點(diǎn)）只有1個(gè)公共點(diǎn)，

∴m的取值范圍是6＜m≤12

【解析】（1）由OC=8、tan∠ABC=2得點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入求解可得；（2）先求出直線(xiàn)CD解析式和點(diǎn)E、F坐標(biāo)，設(shè)平移后解析式為y=﹣（x﹣1）2+9+m，結(jié)合圖象根據(jù)拋物線(xiàn)與線(xiàn)段EF（含線(xiàn)段端點(diǎn)）只有1個(gè)公共點(diǎn)，求得臨界時(shí)m的值，從而得出答案，
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)圖象的平移的相關(guān)知識(shí)，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減，以及對(duì)拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的理解，了解一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．