Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點E，F分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于點G.

（1）求BGC的度數(shù)；

（2）若CE=1，H為BF的中點時，求HG的長度；

（3）若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，求△BCG的周長.

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）；（3）△BGC的周長為

【解析】

（1）先利用正方形的性質和SAS證明△BCE≌△CDF，可得∠CBE=∠DCF，再利用角的等量代換即可求出結果；

（2）先根據(jù)勾股定理求出BF的長，再利用直角三角形的性質求解即可；

（3）根據(jù)題意可得△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，進一步依據(jù)△BCG的面積以及勾股定理，得出BG+CG的長，進而求出其周長．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，

在△BCE和△CDF中，∵BC=CD，∠BCD=∠CDF，CE=DF，

∴△BCE≌△CDF（SAS），

∴∠CBE=∠DCF，

又∵∠BCG+∠DCF=90°，

∴∠BCG+∠CBE=90°，

∴∠BGC=90°；

（2）如圖，∵CE=1，∴DF=1，∴AF=2，

在直角△ABF中，由勾股定理得：，

∵H為BF的中點，∠BGF=90°，

∴；

（3）∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，

∴陰影部分的面積為×9=6，

∴空白部分的面積為9－6=3，

∵△BCE≌△CDF，

∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3=，

設BG=a，CG=b，則ab=，∴ab=3，

又∵a2+b2=32，

∴a2+2ab+b2=9+6=15，

即（a+b）2=15，

∴a+b=，即BG+CG=，

∴△BCG的周長=+3.