Question

【題目】某校初二數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，碰到這樣一道題：

“已知正方形，點(diǎn)分別在邊上，若，則”．

經(jīng)過(guò)思考，大家給出了以下兩個(gè)方案：

（甲）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)；

（乙）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)；同學(xué)們順利地解決了該題后，大家琢磨著想改變問(wèn)題的條件，作更多的探索．

（1）對(duì)小杰遇到的問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)诩�、乙兩個(gè)方案中任選一個(gè)，加以證明（如圖1）；

圖1 圖2

（2）如果把條件中的“”改為“與的夾角為”，并假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為l，的長(zhǎng)為（如圖2），試求的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）選乙，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，通過(guò)證△AMB≌△ADN來(lái)得出結(jié)論；

（2）按（1）的思路也要通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解，可過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，將△AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的長(zhǎng)可在直角三角形ABM中根據(jù)AB和AM（即HF的長(zhǎng)）求出．如果設(shè)DN＝x，那么NM＝PM＝BM＋x，MC＝BCBM＝1BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長(zhǎng)，進(jìn)而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長(zhǎng)．

（1）證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

∴，，

∵正方形

∴，，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴即.

（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵，，

∴在中，，

將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到，

∵與的夾角為

∴

∴，即

從而

∴

設(shè)，則，，

在中，，

解得：

∴.