Question

如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，5

3

)，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．
（1）求∠BAO的度數(shù)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，（如圖②），求點(diǎn)P的運(yùn)動速度．
（3）求（2）中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）如果點(diǎn)P，Q保持（2）中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動時(shí)，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了AB的長和B點(diǎn)的坐標(biāo)，那么sin∠BAO=

5 3

10

=

3

2

，因此∠BAO=60°
（2）由函數(shù)的圖形可知：當(dāng)t=5時(shí)，三角形OPQ的面積是30，如果設(shè)點(diǎn)P的速度為a，那么AP=5a，那么P到AC的距離就是

5

2

a，也就是P到OQ的距離為10-

5

2

a．OQ=QD+OD=5a+2．因此（5a+2）×（10-

5a

2

）×

1

2

=30，解得a=1.6，a=2．由于拋物線的解析式為S=（at+2）（10-

at

2

）×

1

2

，經(jīng)化簡后可得出對稱軸應(yīng)該是t=

9

a

，當(dāng)a=1.6時(shí)，對稱軸t=5.625顯然大于5，與給出的拋物線的圖形不相符，因此a=2是本題的唯一的解．也就是說P的速度是2單位/秒．
（3）根據(jù)（2）的求解過程即可得出S的解析式．然后根據(jù)函數(shù)的解析式來得出函數(shù)的最大值及此時(shí)對應(yīng)的t的取值，然后根據(jù)P，Q的速度和t的取值，可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）本題其實(shí)主要是看P在B點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)∠OPQ的度數(shù)范圍，當(dāng)∠OBQ的度數(shù)大于90°，∠OCQ的度數(shù)小于90°時(shí)，那么在AB，BC上分別有一個(gè)符合要求的點(diǎn)P，如果∠OBQ的度數(shù)小于90°時(shí)那么就沒有符合要求的點(diǎn)，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的點(diǎn)只有一個(gè)．當(dāng)P，B重合時(shí)，作∠OPM=90°交y軸于點(diǎn)M，作PH⊥y軸于點(diǎn)H，然后比較OM和OQ的長即可得出∠OPQ的大致范圍，根據(jù)相似三角形OPH和OPM不難得出OM的長，然后比較OM，OQ的大小，如果OQ＞OM則說明∠OPQ＞90°，反之則小于90°，用同樣的方法可得出當(dāng)P與C重合時(shí)∠OPQ的大致取值范圍，然后根據(jù)上面的分析即可判定出有幾個(gè)符合要求的點(diǎn)．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，5

3

)，AB=10，
∴sin∠BAO=

5 3

10

=

3

2

，
∴∠BAO=60度．

（2）點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2個(gè)單位/秒．

（3）過P作PM⊥x軸，
∵點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2個(gè)單位/秒．
∴t秒鐘走的路程為2t，即AP=2t，
又∵∠APM=30°，
∴AM=t，又OA=10，
∴OM=（10-t），即為三角形OPQ中OQ邊上的高，
而DQ=2t，OD=2，可得OQ=2t+2，
∴P（10-t，

3

t）（0≤t≤5），
∵S=

1

2

OQ•OM=

1

2

（2t+2）（10-t），
=-（t-

9

2

）²+

121

4

．
∴當(dāng)t=

9

2

時(shí)，S有最大值為

121

4

，此時(shí)P（

11

2

，

9 3

2

）．

（4）當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動時(shí)，∠OPQ=90°的點(diǎn)P有2個(gè)．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠OPQ＜90°，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時(shí)，OQ的長是12單位長度，
作∠OPM=90°交y軸于點(diǎn)M，作PH⊥y軸于點(diǎn)H，
由△OPH∽△OPM得：OM=

20 3

3

=11.5，
所以O(shè)Q＞OM，從而∠OPQ＞90度．
所以當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動時(shí)，∠OPQ=90°的點(diǎn)P有1個(gè)．
②同理當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時(shí)，可算得OQ=12+

10 3

3

=17.8，
而構(gòu)成直角時(shí)交y軸于（0，

35 3

3

），

35 3

3

=20.2＞17.8，
所以∠OCQ＜90°，從而∠OPQ=90°的點(diǎn)P也有1個(gè)．
所以當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動時(shí)，∠OPQ=90°的點(diǎn)P有2個(gè)．

點(diǎn)評：本題結(jié)合三角形的相關(guān)知識考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要特別注意（2）中舍去速度為1.6的原因．