Question

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，E、F分別在CB、CA上，EF∥AB，EM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AB于N，MD平分∠BME交BE于D，NH平分∠FNA交AF于H．
（1）如圖1，若AC=BC，找出圖中所有分別于ME，ED相等的線段，并給出證明：
（2）如圖2，若AC≠BC，與ME，ED相等的線段仍然各有一條，請找出并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）易證四邊形EFNM為矩形，可得ME=MB=NF=NA，根據(jù)△BME、△ANF為等腰直角三角形，可得BD=DE=DM=AH=NH=FH；
（2）易證ME=FN，作△EPM≌△FHN，可得∠NFH=∠PEM，∠PME=∠FNH，EP=FH，易求得∠DMP=90°，即可得EDMP四點共圓，可得DE=PE=FH．

解答：解：（1）∵EF∥AB，EM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AB于N，
∴四邊形EFNM為矩形，
∴ME=FN，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，
∴MB=ME，NF=NA，
∴ME=MB=NF=NA，
∴△BME、△ANF為等腰直角三角形，
∴BD=DE=DM=AH=NH=FH；
（2）∵四邊形EFNM為矩形，
∴ME=FN，
將△FHN向左平移，使得FM和EM重合，

則△EPM≌△FHN，
∴∠NFH=∠PEM，∠PME=∠FNH，EP=FH，
∵∠BEM+∠CEF=90°，∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠CFE=∠BEM，
∵∠CFE+∠NFH=90°，
∴∠BEM+∠PEM=90°，
∵∠DME=∠FNH=45°
∴∠DMP=90°，
∴EDMP四點共圓，
∵∠DME=∠PME=45°，
∴DE=PE=FH．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中作出△EPM≌△FHN是解題的關鍵．