Question

如圖，點G是△ABC的重心，過G作EF∥AB，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，作ED∥BC，交AB于點D，若四邊形BFED的面積為12，求S_△ABC．

Answer 1

考點：三角形的重心

專題：

分析：連接CG并延長，交AB于H，過點F作FN⊥AB于N，過點C作CM⊥AB于M，由點G是△ABC的重心可得BH=AH，且CG=

2

3

CH．易證△CGF∽△CHB，△CGE∽△CHA，△BNF∽△BMC，然后根據(jù)相似三角形的性質可求出

EF

AB

、

FN

CM

，從而可求出

S四邊形BFED

S△ABC

，根據(jù)條件就可求出△ABC的面積．

解答：解：連接CG并延長，交AB于H，過點F作FN⊥AB于N，過點C作CM⊥AB于M，如圖，
則有CM∥FN．
∵點G是△ABC的重心，
∴BH=AH，且CG=

2

3

CH．
∵EF∥AB，
∴△CGF∽△CHB，△CGE∽△CHA，
∴

GF

HB

=

CF

CB

=

CG

CH

=

2

3

，

GE

HA

=

CG

CH

=

2

3

，
∴

GF

HB

=

GE

HA

，

BF

BC

=1-

CF

CB

=

1

3

．
∵BH=AH，
∴GF=GE，
∴

EF

AB

=

2GF

2HB

=

2

3

．
∵CM∥FN，
∴△BNF∽△BMC，
∴

FN

CM

=

BF

BC

=

1

3

．
∵EF∥AB，ED∥BC，
∴四邊形BFED是平行四邊形，
∴EF=DB，
∴

S四邊形BFED

S△ABC

=

DB•FN

1 2 AB•CM

=

2EF•FN

AB•CM

=2×

2

3

×

1

3

=

4

9

．
∵S_{四邊形BFED}=12，
∴S_△ABC=27．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、三角形重心等知識，利用重心的性質分別求出四邊形BFED與△ABC底的比、高的比是解決本題的關鍵．