Question

11．如圖，一次函數(shù)y=-x-1與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點A，一次函數(shù)y=-x-1與坐標軸分別交于B、C兩點，連結(jié)AO，若tan∠AOB=$\frac{1}{2}$．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）延長AO交雙曲線于點D，連接CD，求△ACD的面積．

Answer 1

分析 （1）由點A在一次函數(shù)圖象上，設(shè)出點A的坐標，再根據(jù)正切的定義結(jié)合tan∠AOB=$\frac{1}{2}$可得出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可求出n值，從而得出點A的坐標，再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出m的值，此題得解；
（2）根據(jù)對稱性結(jié)合點A的坐標可得出點D的坐標，令一次函數(shù)中x=0求出y值，即可得出點C的坐標，由C、D的坐標可得出線段CD∥x軸以及線段CD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A在一次函數(shù)y=-x-1的圖象上，
∴設(shè)點A的坐標為（n，-n-1）（n＜0）．
∵tan∠AOB=$\frac{-n-1}{-n}$=$\frac{1}{2}$，
解得：n=-2，
∴點A的坐標為（-2，1），
∴m=-2×1=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{2}{x}$．
（2）∵點A的坐標為（-2，1），
∴點D的坐標為（2，-1）．
令一次函數(shù)y=-x-1中x=0，則y=-1，
∴點C的坐標為（0，-1）．
∴線段CD與x軸平行，CD=2-0=2，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•（y_A-y_C）=$\frac{1}{2}$×2×[1-（-1）]=2．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點A的坐標；（2）求出點C的坐標．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出反比例函數(shù)系數(shù)k是關(guān)鍵．