Question

4．如圖，平面直角坐標系xOy中，點O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動．
（1）當四邊形PODB是平行四邊形時，求t的值；
（2）在線段PB上是否存在一點Q，使得四邊形ODQP為菱形？若存在，求處當四邊形ODQP為菱形時t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）△OPD為等腰三角形時，寫出點P的坐標（請直接寫出答案，不必寫過程）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質就可以知道PB=5，可以求出PC=5，從而可以求出t的值．
（2）要使ODQP為菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．
（3）當P₁O=OD=5或P₂O=P₂D或P₃D=OD=5或P₄D=OD=5時分別作P₂E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P₄G⊥OA于G，利用勾股定理P₁C，OE，P₃F，DG的值，就可以求出P的坐標．

解答 解：（1）∵四邊形PODB是平行四邊形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴t=5．
（2）∵ODQP為菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=$\sqrt{P{O}^{2}-O{C}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
∴t=3，
CQ=PC+PQ=3+5=8，
∴點Q的坐標為（8，4）．
（3）當P₁O=OD=5時，由勾股定理可以求得P₁C=3，
P₂O=P₂D時，作P₂E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
當P₃D=OD=5時，作DF⊥BC，由勾股定理，得P₃F=3，
∴P₃C=2；
當P₄D=OD=5時，作P₄G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，
∴OG=8．
∴P₁（2，4），P₂（2.5，4），P₃（3，4），P₄（8，4）．

點評 本題考查了矩形的性質，坐標與圖形的性質，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定及性質，菱形的判定及性質，勾股定理的運用．解決本題的關鍵是熟記平行四邊形、菱形的判定．