Question

12．已知邊長為2的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中（如圖），OA與y軸的夾角為30°，求點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由OA與y軸的夾角為30°，正方形的邊長，根據(jù)三角函數(shù)值可將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)直接求出，將點(diǎn)B的坐標(biāo)設(shè)出，根據(jù)點(diǎn)B到點(diǎn)A和點(diǎn)O的距離，列出方程組，可將點(diǎn)B的坐標(biāo)求出．

解答 解：過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M．

∵OA與y軸的夾角為30°，OA=OC=2，
∴AM=2×sin30°=1，OM=2×cos30°=$\sqrt{3}$，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）；
過點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N．
∵OC與x軸的夾角為30°，
∴ON=2×cos30°=$\sqrt{3}$，CN=2×sin30°=1，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1）．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），
過B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，過C作CD⊥BE，交BE于點(diǎn)D，如圖所示：
∵OB=2$\sqrt{3}$，BD=b-1，CD=$\sqrt{3}$+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}}\\{（a+\sqrt{3}）^{2}+（b-1）^{2}={2}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：b=$\sqrt{3}$+1（舍負(fù)值），a=1-$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）
∴A（1，$\sqrt{3}$）、B（1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）、C（-$\sqrt{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是根據(jù)三角函數(shù)值將點(diǎn)A和點(diǎn)C的值求出，在根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離，列出方程組可將點(diǎn)B的坐標(biāo)求出．