Question

如圖，在△ABC中，∠A=45°，邊AC的垂直平分線交邊AB于E點(diǎn)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)D．如果AB=AC，求證：EC=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)求出∠ABC=∠ACB=67.5°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，推出∠ACE=∠A=45°，求出∠ECB=22.5°，求出∠FDB=∠AED=45°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠F=∠ABC-∠FDB=22.5°，求出∠F=∠ECB即可．

解答：證明：∵∠A=45°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=

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（180°-∠A）=67.5°，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=45°，
∴∠ECB=67.5°-45°=22.5°，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴∠EDA=90°，
∵∠A=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠FDB=∠AED=45°，
∵∠ABC=67.5°，
∴∠F=∠ABC-∠FDB=22.5°，
∴∠F=∠ECB，
∴EC=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．