Question

20．如圖，AB為半圓的直徑，弧AC為弧CB的兩倍，OH⊥AC于點(diǎn)H，BH與OC交于E，己知AC=2$\sqrt{3}$．
（1）求$\frac{BE}{BH}$；
（2）求圖中陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）連接BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OH=$\frac{1}{2}$BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到∠BOC=60°，由三角形的內(nèi)角和得到∠A=30°，解直角三角形得到BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接BC，
∵OH⊥AC，
∴OH∥BC，AH=CH，
∵AO=BO，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC，
∴△OHE∽△BCE，
∴$\frac{BE}{HE}=\frac{BC}{OH}$=2，
∴$\frac{BE}{BH}$=$\frac{2}{3}$；

（2）∵弧AC為弧CB的兩倍，
∴∠AOC=2∠BOC，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
∵AB為半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，
∴OB=OC=2，
∵OH∥BC，
∴S_陰影=S_扇形BOC=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圖形面積求法，根據(jù)已知得出陰影部分面積之和等于S_扇形BOC是解題關(guān)鍵．