Question

（2009•梧州）如圖（1），拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，-2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；
（3）如圖（2），過點(diǎn)E（1，1）作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得△MNQ（點(diǎn)M、N、Q分別與點(diǎn)A、E、F對應(yīng)），使點(diǎn)M、N在拋物線上，求點(diǎn)N和點(diǎn)P的坐標(biāo)？

Answer 1

【答案】分析：（1）把A、C的坐標(biāo)代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即可
（2）求出B、D的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出等腰梯形ADCB，取DC中點(diǎn)E，則E的坐標(biāo)是（，-2），過E作EF⊥AB于F，取EF的中點(diǎn)G，則G的坐標(biāo)是（，-1），則過G的直線（直線與AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面積二等份，把G的坐標(biāo)代入y=kx+1即可求出答案；
（3）把x=1代入y=x²-x-2求出N的坐標(biāo)，根據(jù)對稱求出QF，即可求出P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，-2），
代入得：．
∴，
∴y=x²-x-2，
答：此拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（2）y=x²-x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
當(dāng)x=0時，y=-2，
∴D（0，-2），
∵C（3，-2），
∴DC∥AB，
由勾股定理得：AD=BC=，
∴四邊形ADCB是等腰梯形，
∵D（0，-2），C（3，-2），
∴取DC中點(diǎn)E，則E的坐標(biāo)是（，-2），
過E作EF⊥AB于F，取EF的中點(diǎn)G，則G的坐標(biāo)是（，-1），
則過G的直線（直線與AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面積二等份，
把G的坐標(biāo)代入y=kx+1得：k=-，
即k=-．

（3）設(shè)Q（m，n），則M（m+2，n），N（m，n-1），
代入y=x²-x-2中，得，
解得，∴Q（1，-2），N（1，-3），
又Q的對應(yīng)點(diǎn)為F（1，0），
∴QF的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心P，
即P（1，-1），點(diǎn)N和點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為：（1，-3），（3，-2）．
點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理，中心對稱，解二元一次方程組，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等腰梯形的判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．