Question

8．拋物線y=-x²+4ax+b（a＞0）與x軸相交于O、A兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)P（2，2a）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點(diǎn)N，連接BC和PC．
（1）a=$\frac{3}{2}$時(shí)，求拋物線的解析式和BC的長；
（2）如圖a＞1時(shí)，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使$\frac{AP}{PN}$=$\frac{1}{2}$？若存在，求出a的值，如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)b=0，把a(bǔ)=$\frac{3}{2}$、b=0代入拋物線解析式，即可求出拋物線解析式，再求出B、C坐標(biāo)，即可求出BC長．
（2）利用△PCB∽△APM，得$\frac{PB}{AM}$=$\frac{BC}{PM}$，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+4ax+b（a＞0）經(jīng)過原點(diǎn)O，
∴b=0，
∵a=$\frac{3}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-x²+6x，
∵x=2時(shí)，y=8，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（2，8），
∵對稱軸x=3，B、C關(guān)于對稱軸對稱，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，8），
∴BC=2．
（2）∵AP⊥PC，
∴∠APC=90°，
∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，
∴∠CPB=∠PAM，
∵∠PBC=∠PMA=90°，
∴△PCB∽△APM，
∴$\frac{PB}{AM}$=$\frac{BC}{PM}$，
∴$\frac{6a-4}{4a-2}$=$\frac{4a-4}{2a}$，
整理得a²-4a+2=0，解得a=2±$\sqrt{2}$，
∵a＞1，
∴a=2+$\sqrt{2}$．

（3）∵△APM∽△ANO，
∴$\frac{AP}{PN}$=$\frac{AM}{MO}$=$\frac{1}{2}$，
∵AM=4a-2，OM=2，
∴$\frac{4a-2}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形性質(zhì)列出方程解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考�？碱}型．