【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點,AF,DE相交于點G,當(dāng)E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點時,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.
試探究下列問題:
(1)如圖1,若點E不是邊BC的中點,F(xiàn)不是邊CD的中點,且CE=DF,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”),不需要證明)
(2)如圖2,若點E,F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,連接AE和EF,若點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)
解:上述結(jié)論①,②仍然成立,
理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠DAF=∠CDE,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE
(2)
解:上述結(jié)論①,②仍然成立,
理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠CDE=∠DAF,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥D
(3)
解:四邊形MNPQ是正方形.
理由為:如圖,設(shè)MQ,DE分別交AF于點G,O,PQ交DE于點H,
∵點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,
∴MQ=PN= DE,PQ=MN= AF,MQ∥DE,PQ∥AF,
∴四邊形OHQG是平行四邊形,
∵AF=DE,
∴MQ=PQ=PN=MN,
∴四邊形MNPQ是菱形,
∵AF⊥DE,
∴∠AOD=90°,
∴∠HQG=∠AOD=90°,
∴四邊形MNPQ是正方形.
【解析】(1)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;(2)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;(3)首先設(shè)MQ,DE分別交AF于點G,O,PQ交DE于點H,由點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,即可得MQ=PN= DE,PQ=MN= AF,MQ∥DE,PQ∥AF,然后由AF=DE,可證得四邊形MNPQ是菱形,又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形.
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【題目】圖①、②分別是某種型號跑步機(jī)的實物圖與示意圖.已知踏板CD長為1.6m,CD與地面DE的夾角∠CDE為12°,支架AC長為0.8m,∠ACD為80°,求跑步機(jī)手柄的一端A的高度h(精確到0.1m).
(參考數(shù)據(jù):sin12°=cos78°≈0.21,sin68°=cos22°≈0.93,tan68°≈2.48)
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【題目】觀察下列各式:
=1+ ﹣ =1
=1+ ﹣ =1
=1+ ﹣ =1
請你根據(jù)上面三個等式提供的信息,猜想:
(1) =
(2)請你按照上面每個等式反映的規(guī)律,寫出用n(n為正整數(shù))表示的等式:;
(3)利用上述規(guī)律計算: (仿照上式寫出過程)
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A.y=(x﹣1)2+3B.y=(x+1)2+3C.y=(x﹣1)2﹣3D.y=(x+1)2﹣3
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為8,在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5,則四邊形EFGH的面積是( )
A.30
B.34
C.36
D.40
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【題目】暴雨過后,某地遭遇山體滑坡,武警總隊派出一隊武警戰(zhàn)士前往搶險. 半小時后,第二隊前去支援,平均速度是第一隊的1.5倍,結(jié)果兩隊同時到達(dá).已知搶險隊的出發(fā)地與災(zāi)區(qū)的距離為90千米,兩隊所行路線相同,問兩隊的平均速度分別是多少?
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