Question

【題目】如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E，F分別在AD，BC上，將ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF=．其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①④C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可判斷出①正確；

②根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，即可判斷出②錯(cuò)誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD，求出BF=4，然后寫出BF的取值范圍，即可判斷出③正確；

④過點(diǎn)F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，即可判斷出④正確．

①∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得，CF=FH，

∴四邊形CFHE是菱形，故①正確；

②∵四邊形CFHE是菱形，

∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，故②錯(cuò)誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x，則AF=FC=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，

解得x=3，

點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，故③正確；

④如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AD于M，

則ME=（8-3）-3=2，

由勾股定理得，EF=，故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④，

故選：D．