Question

【題目】若拋物線(xiàn)L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線(xiàn)l都經(jīng)過(guò)y軸上的同一點(diǎn)，且拋物線(xiàn)L的頂點(diǎn)在直線(xiàn)l上，則稱(chēng)次拋物線(xiàn)L與直線(xiàn)l具有“一帶一路”關(guān)系，并且將直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)L的“路線(xiàn)”，拋物線(xiàn)L叫做直線(xiàn)l的“帶線(xiàn)”．

（1）若“路線(xiàn)”l的表達(dá)式為y=2x﹣4，它的“帶線(xiàn)”L的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，求“帶線(xiàn)”L的表達(dá)式；

（2）如果拋物線(xiàn)y=mx2﹣2mx+m﹣1與直線(xiàn)y=nx+1具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；

（3）設(shè)（2）中的“帶線(xiàn)”L與它的“路線(xiàn)”l在y軸上的交點(diǎn)為A．已知點(diǎn)P為“帶線(xiàn)”L上的點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)P為圓心的圓與“路線(xiàn)”l相切于點(diǎn)A時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）“帶線(xiàn)”L的表達(dá)式為y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）．

【解析】試題分析：

（1）由“路線(xiàn)l”的表達(dá)式為：y=2x-4可得，“路線(xiàn)l”與y軸交于點(diǎn)（0，-4）；把x=-1代入y=2x-4可得y=-6，由此可得“帶線(xiàn)L”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-6），結(jié)合“帶線(xiàn)L”過(guò)點(diǎn)（0，-4）即可求得“帶線(xiàn)L”的解析式；

（2）由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“帶線(xiàn)L”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），與y軸交于點(diǎn)（0，m-1），把這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=nx+1即可求得m、n的值；

（3）如圖，由（2）可知，若設(shè)“帶線(xiàn)L”的頂點(diǎn)為B，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，﹣1），過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，連接PA并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，由⊙P與“路線(xiàn)”l相切于點(diǎn)A可得PD⊥l于點(diǎn)A，由此證Rt△AOD≌Rt△BCA即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求得AD的解析式為y=x+1，由AD的解析式和“帶線(xiàn)L”的解析式組成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

（（1）∵“帶線(xiàn)”L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是﹣1，且它的“路線(xiàn)”l的表達(dá)式為y=2x﹣4

∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，

∴“帶線(xiàn)”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）．

設(shè)L的表達(dá)式為y=a（x+1）2﹣6，

∵“路線(xiàn)”y=2x﹣4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4）

∴“帶線(xiàn)”L也經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣4），將（0，﹣4）代入L的表達(dá)式，解得a=2

∴“帶線(xiàn)”L的表達(dá)式為 y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；

（2）∵直線(xiàn)y=nx+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），

∴拋物線(xiàn)y=mx2﹣2mx+m﹣1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)也為（0，1），解得m=2，

∴拋物線(xiàn)表達(dá)式為y=2x2﹣4x+1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）

∴直線(xiàn)y=nx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），解得n=﹣2；

（3）如圖，設(shè)“帶線(xiàn)L”的頂點(diǎn)為B，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，﹣1），過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，

∴∠BCA=90°，

又∵點(diǎn)A 坐標(biāo)為（0，1），

∴AO=1，BC=1，AC=2．

∵“路線(xiàn)”l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的直線(xiàn)

且⊙P與“路線(xiàn)”l相切于點(diǎn)A，連接PA交 x軸于點(diǎn)D，

∴PA⊥AB，

∴∠DAB=∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠DAO=90°，

又∵∠DAO+∠BAC=90°，

∴∠ADO=∠BAC，

∴Rt△AOD≌Rt△BCA，

∴OD=AC=2，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、A的直線(xiàn)表達(dá)式為y=x+1，

∵點(diǎn)P為直線(xiàn)y=x+1與拋物線(xiàn)L：y=2x2﹣4x+1的交點(diǎn)，

解方程組： 得 ： （即點(diǎn)A舍去）， ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．