Question

（2010•永州）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E，且點D為BC的中點．
（1）求證：△ABC為等邊三角形；
（2）求DE的長；
（3）在線段AB的延長線上是否存在一點P，使△PBD≌△AED？若存在，請求出PB的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，利用直徑所對的圓周角為直角及垂直平分線的性質(zhì)得到相等的線段AB=AC，聯(lián)立已知的AB=BC，即可證得△ABC是等邊三角形；
（2）連接BE，利用直徑所對的圓周角為直角，得到BE⊥AC，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出E為AC的中點，繼而利用三角形中位線的數(shù)量關(guān)系求得DE的長度；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以證得△PBD和△AED有一組邊DE=BD和一對角∠PBD=∠AED對應(yīng)相等，所以只要再滿足這組角的另一夾邊對應(yīng)相等就可以了．
解答：（1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵點D是BC的中點，
∴AD是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC為等邊三角形．

（2）解：連接BE．
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AE=EC，即E為AC的中點，
∵D是BC的中點，故DE為△ABC的中位線，
∴DE=AB=×2=1．

（3）解：存在點P使△PBD≌△AED，
由（1）（2）知，BD=ED，
∵∠BAC=60°，DE∥AB，
∴∠AED=120°，
∵∠ABC=60°，
∴∠PBD=120°，
∴∠PBD=∠AED，
要使△PBD≌△AED；
只需PB=AE=1．
點評：此題考查的知識點有：圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大．