Question

如圖，在平面直角坐標系中，A（

25

2

，0），∠OBA=90°．BC∥AD，OB=10，點E從B出發(fā)，以每秒

15

2

個單位長度沿射線BC的方向運動．點F從點O出發(fā)，以每秒

5

2

個單位長度沿線段OB向點B運動，現(xiàn)點E、F同時出發(fā)，當F點到達B點時，E、F兩點同時停止運動．
（1）連接EF并延長交OA于點D，當E點運動到幾秒時，四邊形ABED是平行四邊形？并求出此時平行四邊形的面積．
（2）動點E、F是否會在某個反比例函數(shù)圖象上？如果會，請求出這時動點E、F運動的時間t的值，并求出該反比例函數(shù)的表達式；如果不會，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設E點運動到t秒時，四邊形ABED是平行四邊形，過點B作BH⊥OA于H，如圖1，易證△OHB∽△OBA，從而可求出OH、BH的值，易證△BFE∽△OHB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出t的值，也就可求出平行四邊形的面積；
（2）過點F作FG⊥OA于G，如圖2，易證△OGF∽△OHB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可用t表示出點F的坐標，然后只需求出點E的坐標（用t表示），再運用待定系數(shù)法就可解決問題．

解答：解：（1）設E點運動到t秒時，四邊形ABED是平行四邊形，過點B作BH⊥OA于H，如圖1，
則有BE=

15

2

t，OF=

5

2

t，BF=10-

5

2

t，BE∥AD，DE∥AB，∠OHB=90°．
∵∠OBA=90°，
∴∠OHB=∠OBA．
又∵∠BOH=∠AOB，
∴△OHB∽△OBA，
∴

OB

OA

=

OH

OB

，
∴OB²=OH•OA．
∵A（

25

2

，0）即OA=

25

2

，OB=10，
∴100=

25

2

OH，
∴OH=8，
∴BH=

OB2-OH2

=6．
∵DE∥AB，∠OBA=90°，
∴∠EFB=∠OBA=90°．
∵BE∥AD，
∴∠EBO=∠BOA，
∴△BFE∽△OHB，
∴

BF

OH

=

BE

OB

，
∴

10- 5 2 t

8

=

15 2 t

10

，
解得：t=

20

17

，
∴EB=

15

2

×

20

17

=

150

17

，
∴S_?ABED=

150

17

×6=

900

17

，
∴E點運動

20

17

秒時，四邊形ABED是平行四邊形，此時該平行四邊形的面積為

900

17

．

（2）過點F作FG⊥OA于G，如圖2，
則有FG∥BH，
∴△OGF∽△OHB，
∴

OG

OH

=

GF

HB

=

OF

OB

，
∴

OG

8

=

GF

6

=

5 2 t

10

，
∴OG=2t，GF=

3t

2

，
∴點F（2t，

3

2

t）．
∵BC=OH=8，BE=

15

2

t，
∴CE=8-

15

2

t，
∴點E（8-

15

2

t，6）．
若點E、F都在反比例函數(shù)y=

k

x

上，
則有k=6（8-

15

2

t）=2t×

3

2

t，
解得：

k=768 t=-16

（舍去），

k=3 t=1

，
∴當動點E、F運動的時間為1秒時，點E、F都在反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象上．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識，求出點E、F的坐標（用t表示）是解決第（2）小題的關鍵．