Question

如圖，已知五邊形ABCDE的五條邊相等，五個內(nèi)角也相等．對角線AC與BE相交于點F．（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）求證：四邊形EFCD的四條邊相等．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),多邊形內(nèi)角與外角

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理求出∠BAE，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解；
（2）先利用“邊角邊”證明△ABC和△BAE全等，再求出∠BAC=∠AEB=36°，再求出∠EAF=∠EFA=72°，然后根據(jù)等角對等邊求出AE=EF，同理可求CF=BC，最后根據(jù)五邊形ABCDE的五條邊相等證明即可．

解答：（1）解：∵五邊形ABCDE的五個內(nèi)角相等，
∴∠BAE=

(5-2)•180°

5

=108°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=

1

2

（180°-∠BAE）=

1

2

（180°-108°）=36°；

（2）證明：在△ABC和△BAE中，

AB=AB ∠ABC=∠BAE AE=BC

，
∴△ABC≌△BAE（SAS），
∴∠BAC=∠AEB=36°，
∴∠EAF=∠BAE-∠BAC=108°-36°=72°，
在△AEF中，∠EFA=180°-∠EAF-∠AEB=180°-72°-36°=72°，
∴∠EAF=∠EFA=72°，
∴AE=EF，
同理可求CF=BC，
又∵AE=DE=CD=BC，
∴EF=CF=CD=DE，
即四邊形EFCD的四條邊相等．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)角的度數(shù)相等求出相等的角是解題的關(guān)鍵．