Question

5．如圖，已知：四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于點F，∠ECA=∠D
（1）求證：△EAC∽△ECB；
（2）若DF=AF，求AC：BC的值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E為公共角可得△EAC∽△ECB；
（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，進而有BE=2AE，根據(jù)△EAC∽△ECB得$C{E}^{2}=AE•BE=\frac{1}{2}B{E}^{2}$，即：$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，即：CD∥AE
∴$\frac{CD}{AE}=\frac{DF}{AF}$，
∵DF=AF
∴CD=AE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∴AE=AB，
∴BE=2AE，
∵△EAC∽△ECB，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{BE}=\frac{AC}{BC}$，
∴$C{E}^{2}=AE•BE=\frac{1}{2}B{E}^{2}$，即：$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似形的對應(yīng)邊成比例和平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．