Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=18cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB、BC邊從點(diǎn)A→B→C方向以3cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA、AB邊從點(diǎn)D→A→B方向以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（1）若t=1時(shí)，求△APQ的面積；
（2）當(dāng)P在AB邊上移動(dòng)時(shí)，在△APQ中，若滿足∠PQA＞45°，求t的范圍；
（3）若0≤t≤8，線段PQ和矩形兩邊所構(gòu)成的三角形與△ABC何時(shí)能相似？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)t=1表示出DQ和AP的長(zhǎng)，利用三角形的面積計(jì)算方法求得三角形的面積即可；
（2）表示出QA和AP，根據(jù)∠PAQ=45°，得到QA＜AP，從而得到有關(guān)t的方程，求解即可；
（3）根據(jù)△PAQ與△ABC相似，分①

PA

QA

=

AB

CB

、②

QA

PA

=

AB

CB

和③

AQ

CP

=

AB

CB

三種情況求得t值即可．

解答：解：（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，DQ=t=1cm，AP=3t=3
∴S△APQ=

1

2

AQ×AP=

1

2

（6-1）×3=

15

2

（2）由已知，點(diǎn)Q、P同時(shí)出發(fā)，且分別到達(dá)A、B兩點(diǎn)的時(shí)間均為6秒，
∵QA=6-t，AP=3t，
∴當(dāng)點(diǎn)P在AB上移動(dòng)時(shí)，Q在DA上移動(dòng)，
要滿足∠PAQ=45°，必有：QA＜AP
即6-t＜3t
解之，t＜1.5
∴1.5＜t＜6；

（3）當(dāng)0＜t＜6時(shí)，點(diǎn)P、Q分別在BC和AB上，要使△PAQ與△ABC相似，
必①

PA

QA

=

AB

CB

，即

3t

6-t

=

18

6

，解之t=3秒
②

QA

PA

=

AB

CB

，即

6-t

3t

=

18

6

，解之t=0.6秒
當(dāng)6＜t＜8時(shí)，點(diǎn)P、Q分別在BC和AB上，要使△PBQ與△ABC相似，
必

AQ

CP

=

AB

CB

，即

t-6

24-3t

=

18

6

，解之t=7.8秒，
綜上所述，當(dāng)≤t≤8時(shí)，且點(diǎn)P，Q同時(shí)移動(dòng)時(shí)t=3或0.6或7.8秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的綜合應(yīng)用，特別是本題中涉及到的動(dòng)點(diǎn)問題和分類討論問題，更是近幾年中考的熱點(diǎn)和難度考題，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．