Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且∠CAD=∠B．
（1）求線段CD的長(zhǎng)；
（2）求sin∠BAD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：（1）本小題易證△CAD∽△CBA利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出線段CD的長(zhǎng)；
（2）過(guò)D作DE⊥AB，由（1）可知CD的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式可求出DE，進(jìn)而求出sin∠BAD的值．

解答：解：（1）∵∠C=∠C=90°，∠CAD=∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴

CD

AC

=

AC

BC

，
∵AC=4，BC=6，
∴

CD

4

=

4

6

，
∴CD=

8

3

，

（2）過(guò)D作DE⊥AB，
∵AC=4，CD=

8

3

，
∴AD=

AC2+CD2

=

4 13

3

，
∵S_△ACD=

1

2

•AC•CD=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

，S_△ACB=

1

2

×AC•BC=12，
∴S_△ADB=12-

16

3

=

20

3

，
∵AB=

AC2+BC2

=

52

=2

13

，
∴

20

3

=

1

2

×DE×AB，
∴DE=

40

6 13

=

20 13

39

，
∴sin∠BAD=

DE

AD

=

20 13 39

4 13 3

=

5

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式運(yùn)用和銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是求出三角形ADB的面積進(jìn)而求出高線．