Question

如圖：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=4，點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點O做順時針旋轉，交AB于點D，過點C作CE∥AB，交直線于點E，設直線l的旋轉角為α
（1）當α=30°時，求證：四邊形EDBC是等腰梯形，并求出AD的長．
（2）若四邊形EDBC是直角梯形，求α的度數(shù)和AD的長．
（3）當α=90°時，判斷四邊形EDBC是什么他特殊四邊形．

Answer 1

分析：（1）過C作CF∥DE交AB于F，得出四邊形CEDF是平行四邊形，推出∠CFB=∠EDB，求出∠B=60°=∠CFB，推出BC=CF=4，求出DE=CF=4，在Rt△ACB中，求出AB=2BC=8，由勾股定理求出AC=4

3

，求出DO=2，根據等腰三角形性質求出AD=DO=2；
（2）過C作CF⊥AB于F，則∠BFC=90°，求出BF=

1

2

BC=2，由勾股定理求出CF=2

3

，推出四邊形CEDF是矩形，求出DE=CF=2

3

，DO=OE=

1

2

DE=

3

，求出∠COE=∠DOA=60°，AO=2DO=2

3

，即可得出答案；
（3）四邊形EDBC是菱形，理由是：求出四邊形EDBC是平行四邊形，求出DO=OE=

1

2

DE=2，在Rt△DOA中，求出AD=2DO=4，求出DB=BC=4，根據菱形的判定推出即可．

解答：解：（1）如圖1，
過C作CF∥DE交AB于F，
∵CE∥AB，
∴四邊形CEDF是平行四邊形，
∴∠CFB=∠EDB，
∵∠EDB=∠A+∠DOA=30°+30°=60°，
∴∠CFB=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°=∠CFB，
∴BC=CF=4，
∴DE=CF=4，
在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，由勾股定理得：AC=4

3

，
∴CE∥BC，O為AC中點，
∴△CEO∽△ADO，CO=AO，
∴

EO

OD

=

CO

AO

，
∴EO=DO，
∴DO=2，
∵∠DOA=∠A=30°，
∴AD=DO=2；

（2）如圖2，
過C作CF⊥AB于F，
則∠BFC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCF=30°，
∵BC=4，
∴BF=

1

2

BC=2，由勾股定理得：CF=2

3

，
∵CF⊥AB，
又∵四邊形CEDB是直角梯形，
∴ED⊥AB，
∴CF∥DE，
∵CE∥AB，
∴四邊形CEDF是矩形，
∴DE=CF=2

3

，
∴DO=OE=

1

2

DE=

3

，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=∠EDA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠COE=∠DOA=60°，
即α的度數(shù)是60°，
∵在Rt△ODA中，∠ODA=90°，∠A=30°，DO=

3

，
∴AO=2DO=2

3

，
由勾股定理得：AD=

3

DO=

3

×

3

=3．

（3）四邊形EDBC是菱形，
理由是：如圖3，
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∵CE∥BA，
∴四邊形EDBC是平行四邊形，
∴DE=BC=4，
∴DO=OE=

1

2

DE=2，
∵在Rt△DOA中，∠DOA=90°，DO=2，∠A=30°，
∴AD=2DO=4，
∴DB=AB-AD=8-4=4=BC，
∴平行四邊形EDBC是菱形，
即四邊形EDBC是菱形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，直角梯形性質，相似三角形的性質和判定，菱形的判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．