Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM，ON，MN．下列結(jié)論：①△OCN≌△OAM；②四邊形DAMN與△MON面積相等；③ON=MN；④若∠MON=45°，MN=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，

2

+1），其中正確結(jié)論為

 

（填將所有正確的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到S_△ONC=S_△OAM=

1

2

k，即

1

2

OC•NC=

1

2

OA•AM，而OC=OA，則NC=AM，再根據(jù)“SAS”可判斷△OCN≌△OAM；
根據(jù)S_△OND=S_△OAM=

1

2

k和S_△OND+S_{四邊形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，即可得到S_{四邊形DAMN}=S_△OMN；
根據(jù)全等的性質(zhì)得到ON=OM，由于k的值不能確定，則∠MON的值不能確定，無(wú)法確定△ONM為等邊三角形，則ON≠M(fèi)N；
作NE⊥OM于E點(diǎn)，則△ONE為等腰直角三角形，設(shè)NE=x，則OM=ON=

2

x，EM=

2

x-x=（

2

-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x²=2+

2

，所以O(shè)N²=（

2

x）²=4+2

2

，易得△BMN為等腰直角三角形，得到BN=

2

2

MN=

2

，設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值為

2

+1，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

2

+1）．

解答： 解：∵點(diǎn)M、N都在y=

k

x

的圖象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=

1

2

k，即

1

2

OC•NC=

1

2

OA•AM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，
∴①正確；
∵S_△OND=S_△OAM=

1

2

k，
而S_△OND+S_{四邊形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，
∴四邊形DAMN與△MON面積相等，
∴②正確；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能確定，
∴∠MON的值不能確定，
∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，
∴ON≠M(fèi)N，
∴③錯(cuò)誤；
作NE⊥OM于E點(diǎn)，如圖所示：
∵∠MON=45°，∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，
設(shè)NE=x，則ON=

2

x，
∴OM=

2

x，
∴EM=

2

x-x=（

2

-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵M(jìn)N²=NE²+EM²，即2²=x²+[（

2

-1）x]²，
∴x²=2+

2

，
∴ON²=（

2

x）²=4+2

2

，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=

2

2

MN=

2

，
設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，則OC=a，CN=a-

2

，
在Rt△OCN中，∵OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-

2

）²=4+2

2

，解得a₁=

2

+1，a₂=-1（舍去），
∴OC=

2

+1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

2

+1），
∴④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和正方形的性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)；熟練運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算．