Question

【題目】如圖，是一個銳角三角形，分別以、向外作等邊三角形、，連接、交于點(diǎn)，連接.

（1）求證：

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)G．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM=AN，根據(jù)角平分線的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到結(jié)論；

（2）如圖，延長FB至K，使FK=DF，連DK，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．

（1）過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)G．

∵△ABD和△ACE為等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．

在△ACD和△AEB中，∵，

∴△ACD≌△AEB，

∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面積=△ABE的面積，

∴CDAM=BEAN，

∴AM=AN，

∴AF是∠DFE的平分線，

∴∠DFA=∠AFE．

∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，

∴∠DFB=∠DAG=60°，

∴∠GFE=120°，

∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．

（2）如圖，延長FB至K，使FK=DF，連接DK．

∵∠DFB=60°，

∴△DFK為等邊三角形，

∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，

∴∠K=∠DFA=60°．

∵∠ADB=60°，

∴∠KDB=∠FDA．

在△DBK和△DAF中，

∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，

∴△DBK≌△DAF，

∴BK=AF．

∵DF=DK=FK=BK+BF，

∴DF=AF+BF，

又∵CD=DF+CF，

∴CD=AF+BF+CF．