Question

15．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE⊥AB于點E，若菱形的周長為8$\sqrt{13}$，tan∠OAD=$\frac{2}{3}$，求DE的長．

Answer 1

分析 由菱形的周長為8$\sqrt{13}$，tan∠OAD=$\frac{2}{3}$，可求得其邊長與對角線的長，然后由菱形的面積等于其對角線積的一半或底乘以高，求得答案．

解答 解：∵菱形ABCD的周長為8$\sqrt{13}$，
∴AD=AB=2$\sqrt{13}$，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，tan∠OAD=$\frac{2}{3}$，
∴OD：OA=2：3，
∴設OD=2x，則OA=3x，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$x，
∴$\sqrt{13}$x=2$\sqrt{13}$，
解得：x=2，
∴OA=6，OD=4，
∴AC=2OA=12，BD=2OD=8，
∵DE⊥AB，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=AB•DE，
∴DE=$\frac{\frac{1}{2}AC•BD}{AB}$=$\frac{24\sqrt{13}}{13}$．

點評 此題考查了菱形的性質以及三角函數(shù)等知識．注意菱形的面積等于其對角線積的一半或底乘以高．