【題目】如圖,點A、BC、D均在⊙O上,FB與⊙O相切于點B,ABCF交于點G,OACF于點E,ACBF

(1)求證:FG=FB

(2)若tan∠F=,⊙O的半徑為4,求CD的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),可得∠OAB=OBA,根據(jù)切線的性質(zhì),可得∠FBG+OBA=90°,根據(jù)等式的性質(zhì),可得∠FGB=FBG,根據(jù)等腰三角形的判定,可得答案;

2)根據(jù)平行線的性質(zhì),可得∠ACF=F,根據(jù)等角的正切值相等,可得AE,根據(jù)勾股定理,可得答案.

1)證明:∵OA=OB,

∴∠OAB=OBA

OACD,

∴∠OAB+AGC=90°

FB與⊙O相切,

∴∠FBO=90°

∴∠FBG+OBA=90°,

AGC=FBG,

∵∠AGC=FGB,

∴∠FGB=FBG

FG=FB;

2)如圖

設(shè)CD=a,

OACD

CE=CD=a

ACBF,

∴∠ACF=F,

tanF=,

tanACF==,即,

解得AE=a,

連接OC,OE=4a,

CE2+OE2=OC2,

a2+4a2=4,

解得a=

CD=

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