Question

正方形ABCD中，點(diǎn)P，Q分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，連接PQ、PC、QC，下列說(shuō)法：①若∠PCQ=45°，則PB+QD=PQ；②若AP=AQ=，∠PCQ=36°，則；③若△PQC是正三角形，若PB=1，則AP=．其中正確的說(shuō)法有（ ）
A．3個(gè)
B．2個(gè)
C．1個(gè)
D．0個(gè)

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=DQ，連接EC，AC，首先通過(guò)求證△BEC和△DQC全等推出等量關(guān)系，求出∠ECP=45°，然后再求證△PCE≌△PCQ，通過(guò)等量代換即可推出結(jié)論，
（2）過(guò)點(diǎn)Q作∠PQC的角平分線(xiàn)，交PC于點(diǎn)E，首先根據(jù)題意推出△PBC和△QDC全等，推出有關(guān)的等量關(guān)系，推出△PQC為等腰三角形，然后，通過(guò)頂角為36°角的等腰三角形的特殊性質(zhì)，推出PQ²=PE•PC，PE=PC-2，解方程組即可推出結(jié)論，
（3）取PC的中點(diǎn)E，連接BE，做BM⊥PC于點(diǎn)M，首先根據(jù)題意推出Rt△PBC和Rt△QDC全等，然后根據(jù)其性質(zhì)推出相關(guān)角的度數(shù)和PB=QD，再通過(guò)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，和節(jié)直角三角形，推出4BM=PC，PC=AP，即得，4BM=AP，然后通過(guò)求證△PBM∽△PCB，推出BP：PC=BM：BC，最后通過(guò)等量代換，求關(guān)于AP的方程即可．注意不合適的值要舍去．
解答：（1）證明：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=DQ，連接EC，AC，
∵正方形ABCD，
∴∠BCA=∠DCA=45°，CD=DA=AB=BC，∠D=∠EBC=90°，
∴在△BEC和△DQC中，
，
∴△BEC≌△DQC（SAS），
∴CE=CQ，∠BCE=∠DCQ，
∵∠PCQ=45°，
∴∠DCQ+∠PCB=45°，
∴∠BCE+∠PCB=45°，即∠ECP=45°，
∵在△PCE和△PCQ中，
，
∴△PCE≌△PCQ（SAS），
∴PE=PQ，
∵PE=PB+BE=PB+QD，
∴PQ=PB+QD，

（2）過(guò)點(diǎn)Q作∠PQC的角平分線(xiàn)，交PC于點(diǎn)E，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠D=∠B=90°，AD=AB=BC=CD，
∵∠PCQ=36°，AP=AQ=，
∴PQ=2，PB=QD，
∴PE=PC-2，
∵在△PBC和△QDC中，
，
∴△PBC≌△QDC（SAS），
∴QC=PC，
∴∠CPQ=∠CQP=72°，
∴∠PQE=∠EQC=36°，
∴QE=QP=EC=2，
∵△QPE∽△CQP，
∴PQ：QC=PE：PQ，即PQ²=PE•PC，
∵PQ=2，
∴PE•PC=4，
∵PE=PC-2，
∴PC²-2PC-4=0，
解得：PC₁=1-＜0（舍去），PC₂=1+，
∴PC=+1，

（3）取PC的中點(diǎn)E，連接BE，做BM⊥PC于點(diǎn)M，
∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AB=AD，∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°，
∵△PCQ為正三角形，
∴QC=PQ=PC，∠QCP=60°，
∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，
，
∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），
∴∠BCP=∠DCQ=，PB=QD，
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴BE=EC=PE=，
∴∠BEM=30°，
∴2BM=BE，
∴4BM=PC，
∵PC=AP，
∴4BM=AP，
∵BM⊥PC，∠BCP=15°，
∴∠PBM=15°，
∴△PBM∽△PCB，
∴BP：PC=BM：BC，
∵PB=1，
∴BC=AB=AP+1，
∴，
∴AP²-AP-1=0，
解得：AP₁=1+，AP₂=1-＜0（舍去），
∴AP=+1，
∴其中說(shuō)法正確的共3個(gè)，
故選擇A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)定理，正確地通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形、認(rèn)真正確地解二元一次方程組，解一元二次方程，注意解得的不合題意的值要舍去．