Question

【題目】如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）的直線(xiàn)y＝kx﹣3與直線(xiàn)y＝﹣x交于點(diǎn)B，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△OPB是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（3）當(dāng)BP平分△OAB的面積時(shí)，直線(xiàn)BP與y軸交于點(diǎn)D，求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，－2）；（2）當(dāng)△OPB是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2秒或4秒；（3）當(dāng)BP平分△OAB的面積時(shí)，線(xiàn)段BD的長(zhǎng)為2．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)AB的解析式，聯(lián)立直線(xiàn)AB及OB的解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由∠BOP=45°可得出∠OPB=90°或∠OBP=90°，①當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，△OPB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OP的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度可求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；②當(dāng)∠OBP=90°時(shí)，△OPB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OP的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度可求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．綜上，此問(wèn)得解；
（3）由BP平分△OAB的面積可得出OP=AP，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B，P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)BP的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，利用勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)．

（1）直線(xiàn)y＝kx﹣3過(guò)點(diǎn)A（6,0），

所以，0＝6k－3，解得：k＝，

直線(xiàn)AB為：－3，

，解得：，

所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，－2）

　　

（2）∵∠BOP=45°，△OPB是直角三角形，
∴∠OPB=90°或∠OBP=90°，如圖1所示：
①當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，△OPB為等腰直角三角形，
∴OP=BP=2，
又∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒；
②當(dāng)∠OBP=90°時(shí)，△OPB為等腰直角三角形，
∴OP=2BP=4，
又∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒．
綜上，當(dāng)△OPB是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或4秒．
（3）∵BP平分△OAB的面積，
∴S△OBP=S△ABP，
∴OP=AP，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)直線(xiàn)BP的解析式為y=ax+b（a≠0），
將B（2，-2），點(diǎn)P（3，0）代入y=ax+b，得：

，
解得：，
∴直線(xiàn)BP的解析式為y=2x-6．
當(dāng)x=0時(shí)，y=2x-6=-6，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-6）．
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖2所示．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-6），
∴BE=2，CE=4，
∴BD==2，
∴當(dāng)BP平分△OAB的面積時(shí)，線(xiàn)段BD的長(zhǎng)為2．