Question

等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，G為重心，AE=AG，GE⊥AC，求GE、GH的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的重心

專題：計(jì)算題

分析：延長(zhǎng)AG交BC于D，連結(jié)GB，如圖，根據(jù)重心的定義得到BD=CD=

1

2

BC=5，再利用等腰三角形的性質(zhì)得AD⊥BC，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出AD=12，接著根據(jù)重心的性質(zhì)計(jì)算出AG=

2

3

AD=8，則DG=AD-AG=4，然后在Rt△BDG中利用勾股定理計(jì)算出GB=

41

，證明Rt△AEG∽R(shí)t△ADC，利用相似比計(jì)算出GE．

解答：解：延長(zhǎng)AG交BC于D，連結(jié)GB，如圖，
∵G為重心，
∴AD為△ABC的中線，即BD=CD=

1

2

BC=5，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，
∴AD=

AB2-BD2

=12，
∵G為重心，
∴AG=

2

3

AD=8，
∴DG=AD-AG=4，
在Rt△BDG中，∵BD=5，GD=4，
∴GB=

BD2+GD2

=

41

，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG=90°，
而∠EAG=∠DAC，
∴Rt△AEG∽R(shí)t△ADC，
∴

GE

CD

=

AG

AC

，即

GE

5

=

8

13

，
∴GE=

40

13

，
即GE、GB的長(zhǎng)度分別為

40

13

，

41

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．