Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，的、兩個頂點在軸上，頂點在軸的負半軸上．已知，，的面積，拋物線經(jīng)過、、三點．

求此拋物線的函數(shù)表達式；

點是拋物線對稱軸上的一點，在線段上有一動點，以每秒個單位的速度從向運動，（不與點，重合），過點作，交軸于點，設點的運動時間為秒，試把的面積表示成的函數(shù)，當為何值時，有最大值，并求出最大值；

設點是拋物線上異于點，的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于另一點．以為直徑畫，則在點的運動過程中，是否存在與軸相切的？若存在，求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】 ； 當時，有最大值是；存在點：，，，使得以為直徑的與軸相切．

【解析】

（1）由已知設OA＝m，則OB＝OC＝5m，AB＝6m，由S△ABC＝AB×OC＝15，可求m的值，確定A、B、C三點坐標，由A、B兩點坐標設拋物線交點式，將C點坐標代入求解即可；

（2）先根據(jù)點B、C的坐標求出直線BC的解析式，在設出點M的坐標，從而求出MH的解析式，根據(jù)拋物線的對稱軸x＝2得到直線MH與對稱軸的交點D的坐標，求出DP的長度，然后根據(jù)S△PMH＝S△PMD＋S△PDH，列式得到關于t的二次函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可；（3）存在．根據(jù)拋物線的解析式設出點E的坐標，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點E到對稱軸的距離，再根據(jù)以EF為直徑的⊙Q與x軸相切，則點E到x軸的距離等于點E到對稱軸的距離相等，然后列出方程，再根據(jù)絕對值的性質去掉括號解方程即可，從而得到點E的坐標．

∵，，

設，則，，

由，得，

解得（舍去負值），

∴，，，

設拋物線解析式為，將點坐標代入，得，

∴拋物線解析式為，

即；

∵，，

∴直線的解析式為：，

∵點的運動時間為，

∴，

∵直線平行于直線，

∴直線為，

設直線與對稱軸交于點，點的坐標為，

∴，

∴，，

∴當時，有最大值是；∵拋物線的解析式為，

∴設點的坐標為，

又∵拋物線的對稱軸為，

∴點到對稱軸的距離為，

∵以為直徑的與軸相切，

∴，

①，時，即時，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此時點的坐標為，

②，時，即時，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此時點的坐標為，

③，時，即時，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此時點的坐標為，

④，時，即時，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此時點的坐標為，

綜上所述，存在點：，，，使得以為直徑的與軸相切．