Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（是常數(shù)，且）與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)．連結(jié)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連結(jié)．當(dāng)最短時(shí)，的值為_________ ．

Answer 1

【答案】

【解析】

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，先由函數(shù)關(guān)系式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)進(jìn)而求得OA、OB的長(zhǎng)，再由旋轉(zhuǎn)可得AC＝AD，∠CAD＝90°，由此可證得△ACO≌△DAE，進(jìn)而可表示出DE和BE的長(zhǎng)，最后利用勾股定理表示出BD2，進(jìn)而即可求得當(dāng)最短時(shí)的的值．

解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠AED＝90°，

令y＝0，則

解得：，

∴OA＝1，OB＝3，

∴AB＝OB－OA＝2，

令x＝0，則y＝3a，

∴OC＝3a，

∵旋轉(zhuǎn)，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°，

∴∠CAO＋∠DAE＝90°，

∵∠COA＝90°，

∴∠CAO＋∠ACO＝90°，

∴∠ACO＝∠DAE，

在△ACO與△DAE中，

∴△ACO≌△DAE（AAS），

∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝3a，

∴BE＝AE－AB＝3a－2，

∴BD2＝BE2＋DE2＝(3a－2)2＋1≥1，

當(dāng)3a－2＝0即a＝時(shí)，BD取得最小值．

故答案為：．