Question

【題目】計數(shù)問題是我們經(jīng)常遇到的一類問題，學會解決計數(shù)問題的方法，可以使我們方便快捷，準確無誤的得到所要求的結(jié)果，下面讓我們借助兩個問題，了解計數(shù)問題中的兩個基本原理---加法原理、乘法原理.

問題1.從青島到大連可以乘坐飛機、火車、汽車、輪船直接到達.如果某一天中從青島直接到達大連的飛機有3班，火車有4班，汽車有8班，輪船有5班，那么這一天中乘坐某種交通工具從青島直接到達大連共有 種不同的走法：

問題2.從甲地到乙地有3條路，從乙地到丙地有4條路，那么從甲地經(jīng)過乙地到丙地，共有 種不同的走法：

方法探究

加法原理：一般的，完成一件事有兩類不同的方案,在第一類方案中有m種不同的方法,在第二類方案中有n種不同的方法。那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法,這是分類加法計數(shù)原理;完成一件事需要兩個步驟,做第一步有m種不同的方法,做第二步有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法,這就是分步乘法計數(shù)原理.

實踐應用1

問題3.如圖1，圖中線段代表橫向、縱向的街道，小明爸爸打算從A點出發(fā)開車到B點辦事(規(guī)定必須向北走,或向東走，不走回頭路)，問他共有多少種不同的走法？其中從A點出發(fā)到某些交叉點的走法數(shù)已在圖2填出.

(1)根據(jù)以上原理和圖2的提示，算出從A出發(fā)到達其余交叉點的走法數(shù)，如果將走法數(shù)填入圖2的空圓中，便可以借助所填數(shù)字回答：從A點出發(fā)到B點的走法共有 種：

(2)根據(jù)上面的原理和圖3的提示，請算出從A點出發(fā)到達B點，并禁止通過交叉點C的走法有 種.

(3)現(xiàn)由于交叉點C道路施工,禁止通行。小明爸爸如果任選一種走法,從A點出發(fā)能順利開車到達B點(無返回)概率是

實踐應用2

問題4.小明打算用 5種顏色給如下圖的5個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色，問共有 種不同的染色方法.

Answer 1

【答案】問題1：20；問題2：12；問題3：（1）35；（2）17；（3）；問題4：240種.

【解析】

問題1. 根據(jù)一天中乘飛機有3種走法，乘火車有4種走法，乘汽車有8種走法，輪船有5種走法，再由加法原理求解即可，

問題2. 根據(jù)乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，再由乘法原理求解即可，

問題3.

（1）根據(jù)完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，則到達A點以外的任意交叉點的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數(shù)字之和．從而計算出從A點到達其余各交叉點的走法數(shù)；

（2）此題有兩種計算方法：方法一是先求從A點到B點，并經(jīng)過交叉點C的走法數(shù)，再用從A點到B點總走法數(shù)減去它；方法二是刪除與C點緊相連的線段，運用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法；

（3）結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論，即可求得概率．

問題4. 因為A與其它4個區(qū)域都相鄰，所以先填A區(qū)域，有5種選擇；那么B區(qū)域，有4種選擇；由于C區(qū)域與A和B都相鄰，所以有3種選擇；同理，E區(qū)域與A、B、C都相鄰，所以有2種選擇；而D區(qū)域只與A、C、E相鄰，不與B相鄰，因此可以和B區(qū)域同色，所以D區(qū)域有2種選擇；根據(jù)乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（種）染色方法．

問題1. 一天中乘飛機有3種走法，乘火車有4種走法，乘汽車有8種走法，輪船有5種走法，每一種走法都可以從青島直接到達大連，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20種不同的走法．

問題2. 因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，按乘法原理，共有3×2=6種不同的走法．

問題3.

（1）∵完成從A點到B點必須向北走，或向東走，
∴到達A點以外的任意交叉點的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數(shù)字之和，故使用分類加法計數(shù)原理，由此算出從A點到達其余各交叉點的走法數(shù)，填表如圖1．
答：從A點到B點的走法共有35種．

（2）方法一：可先求從A點到B點，并經(jīng)過交叉點C的走法數(shù)，再用從A點到B點總走法數(shù)減去它，即得從A點到B點，但不經(jīng)過交叉點C的走法數(shù)．
完成從A點出發(fā)經(jīng)C點到B點這件事可分兩步，先從A點到C點，再從C點到B點，
使用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到C點的走法是3種，見圖2；算出從C點到B點的走法為6種，見圖3，再運用分步乘法計數(shù)原理，得到從A點經(jīng)C點到B點的走法有3×6=18種．
∴從A點到B點但不經(jīng)過C點的走法數(shù)為35-18=17種．

方法二：由于交叉點C道路施工，禁止通行，故視為相鄰道路不通，可刪除與C點緊相連的線段，運用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法有17種．從A點到各交叉點的走法數(shù)見圖4，
∴從A點到B點并禁止經(jīng)過C點的走法數(shù)為35-18=17種．

（3）P（順利開車到達B點）=．
答：任選一種走法，順利開車到達B點的概率是．

問題4. 解：乘法原理可得：
5×4×3×2×2=240（種）．
答：共有240種染色方法．