Question

【題目】如圖，長方形ABCD在平面直角坐標系中，AD∥BC∥x軸，AB∥DC∥y軸，x軸與y軸夾角為90°，點M，N分別在xy軸上，點A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）．

（1）連接線段OB、OD、BD，求△OBD的面積；

（2）若長方形ABCD在第一象限內以每秒0.5個單位長度的速度向下平移，經過多少秒時，△OBD的面積與長方形ABCD的面積相等請直接寫出答案；

（3）見備用圖，連接 OB，OD，OD交BC于點E，∠BON的平分線和∠BEO的平分線交于點F．

①當∠BEO的度數為n，∠BON的度數為m時，求∠OFE的度數．

②請直接寫出∠OFE和∠BOE之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）17；（2）；（3）①∠EFO＝m+n+90°；②2∠EFO+∠BOE＝270°．

【解析】

（1）延長DA交y軸于H，如圖1所示，則AH⊥y軸，然后利用S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB代入數據計算即可；

（2）由S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝S長方形ABCD＝12即可列出關于t的方程，解方程即得結果；

（3）①延長CB交y軸于點P，延長EF交y軸于點G，如圖2，根據角平分線的定義和三角形的外角性質解答即可；

②根據角平分線的定義和三角形的外角性質可得∠EFO＝90°+(∠NOB+∠BEO)，根據直角三角形的性質可得∠BON+∠BEO=90°－∠BOE，進一步即可得出結論．

解：（1）延長DA交y軸于H，如圖1所示：

則AH⊥y軸．

∵A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）

∴OH＝8，DH＝7，AH＝1，AD＝6，AB＝2，

∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB

＝×OH×DH﹣×AB×AD﹣×（AB+OH）×AH

＝×8×7﹣×2×6﹣×（2+8）×1＝17；

（2）∵S長方形ABCD＝2×6＝12，

∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝12，

∴×（8﹣0.5t）×7﹣×2×6﹣×（2+8﹣0.5t）×1＝12，

解得：t＝；

（3）①延長CB交y軸于點P，延長EF交y軸于點G，如圖2，

∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，

∴∠GOF＝∠NOB＝m，∠BEF＝∠BEO＝n，

∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，

∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝m+n+90°；

②∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，

∴∠GOF＝∠NOB，∠BEF＝∠BEO，

∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，

∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝90°+∠NOB+∠BEO＝90°+(∠NOB+∠BEO)，

∵∠BOE＝90°﹣∠BON﹣∠BEO，

∴∠BON+∠BEO=90°－∠BOE，

∴∠EFO＝90°+(90°－∠BOE)，

即2∠EFO+∠BOE＝270°．