Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G的投影矩形定義如下：矩形的兩組對邊分別平行于x軸，y軸，圖形G的頂點在矩形的邊上或內(nèi)部，且矩形的面積最�。�設(shè)矩形的較長的邊與較短的邊的比為k，我們稱常數(shù)k為圖形G的投影比．如圖1，矩形ABCD為△DEF的投影矩形，其投影比$k=\frac{BC}{AB}$．

（1）如圖2，若點A（1，3），B（3，5），則△OAB投影比k的值為$\frac{5}{3}$．
（2）已知點C（4，0），在函數(shù)y=2x-4（其中x＜2）的圖象上有一點D，若△OCD的投影比k=2，求點D的坐標(biāo)．
（3）已知點E（3，2），在直線y=x+1上有一點F（5，a）和一動點P，若△PEF的投影比1＜k＜2，則點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍1＜m＜3或m＞5（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）在圖2中作出△OAB的投影矩形ACBD，根據(jù)投影比的定義即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)出D點的坐標(biāo)，分0≤x≤2和x＜0兩種情況考慮，找出兩種情況下△OCD的投影矩形，根據(jù)投影比的定義列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)投影矩形的不同分四種情況考慮（m≤1，1＜m＜3，3≤m≤5和m＞5），找出每種情況下的投影矩形投影比，根據(jù)m的取值范圍確定k的取值范圍，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在圖2中

過點B作BC⊥x軸于點C，作BD⊥y軸于點D，則矩形ACBD為△OAB的投影矩形，
∵點B（3，5），
∴OC=3，BC=5，
∴△OAB投影比k的值為$\frac{BC}{OC}$=$\frac{5}{3}$．
（2）∵點D為函數(shù)y=2x-4（其中x＜2）的圖象上的點，
設(shè)點D坐標(biāo)為（x，2x-4）（x＜2）．
分以下兩種情況：

①當(dāng)0≤x≤2時，如圖3所示，

作投影矩形OMNC．
∵OC≥OM，
∴$k=\frac{OC}{OM}=\frac{4}{OM}=\frac{4}{-（2x-4）}=2$，
解得x=1，
∴D（1，-2）；
②當(dāng)x＜0時，如圖4所示，

作投影矩形MDNC．
∵點D坐標(biāo)為（x，2x-4），點M點坐標(biāo)為（x，0），
∴DM=|2x-4|=4-2x，MC=4-x，
∵x＜0，
∴DM＞CM，
∴$k=\frac{DM}{MC}=\frac{4-2x}{4-x}=2$，但此方程無解．
∴當(dāng)x＜0時，滿足條件的點D不存在．
綜上所述，點D的坐標(biāo)為D（1，-2）．
（3）令y=x+1中y=2，則x+1=2，解得：x=1．
①當(dāng)m≤1時，作投影矩形A′FB′P，如圖5所示．

此時點P（m，m+1），PA′=5-m，F(xiàn)A′=6-（m+1）=5-m，△PEF的投影比k=$\frac{FA′}{PA′}$=1，
∴m≤1不符合題意；
②當(dāng)1＜m＜3時，作投影矩形A′FB′Q，如圖6所示．

此時點P（m，m+1），F(xiàn)B′=5-m，F(xiàn)A′=6-2=4，△PEF的投影比k=$′\frac{FA′}{FB′}$=$\frac{4}{5-m}$，
∵1＜m＜3，
∴1＜k＜2，
∴1＜m＜3符合題意；
③當(dāng)3≤m≤5時，作投影矩形A′FB′E，如圖7所示．

此時點E（3，2），F(xiàn)A′=6-2=4，F(xiàn)B′=5-3=2，△PEF的投影比k=$′\frac{FA′}{FB′}$=2，
∴3≤m≤5不符合題意；
④當(dāng)m＞5時，作投影矩形A′PB′E，如圖8所示．

此時點P（m，m+1），點E（3，2），PB′=m+1-2=m-1，PA′=m-3，△PEF的投影比k=$\frac{PB′}{PA′}$=$\frac{m-1}{m-3}$，
∵m＞5，
∴1＜k＜2，
∴m＞5符合題意．
綜上可知：點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍為1＜m＜3或m＞5．
故答案為：1＜m＜3或m＞5．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)以及解不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出投影矩形的長邊和短邊長；（2）分兩種情況考慮；（3）分四種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程中用到了分段考慮，給解題帶來了麻煩，解決該題型題目時，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵．