Question

（2002•海淀區(qū)）（1）求證：關(guān)于x的方程（n-1）x²十mx+1=0①有兩個相等的實數(shù)根．
關(guān)于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0②必有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若方程①的一根的相反數(shù)恰好是方程②的一個根，求代數(shù)式m²n十12n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①有兩個相等的實數(shù)根，即方程的判別式△=0，即可得到關(guān)于m，n的一個等式，求證②必有兩個不相等的實數(shù)根，即證明根的判別式△＞0．
（2）把（1）中根據(jù)①有兩個相等的實數(shù)根，即方程的判別式△=0，得到的關(guān)于m，n的一個等式，變形為用含m的代數(shù)式表示n的形式，消去方程①中的m，然后解方程①，求出方程的根，根據(jù)若方程①的一根的相反數(shù)恰好是方程②的一個根，即可求解．
解答：（1）證明：由方程①得n-1≠0，m²-4×（n-1）=0．
∴m²=4（n-1）且m≠0，則n-1＞0．
方程②中△=4m²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=8m²（n+3）（n-1）．
∵n-1＞0．
∴△＞0．方程②必有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）解：由m²=4（n-1），得n-1=．代入第一個方程，得
x²+mx+1=0，解得x=-．
把代入第二個方程，得
m²×（）²-2m×-m²-2n²+3=0．
整理得2n²+4n=7．
∴m²n十12n=n（m²+12）
=n（4n-4+12）
=4n²+8n
=2（2n²+4n）
=14．
點評：△＞0時，一元二次方程才有2個不相等的實數(shù)根．注意運用根與系數(shù)的關(guān)系使計算簡便．