Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足點(diǎn)為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取到最大值時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′，求出P′的坐標(biāo)，并判斷P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】(1)、y=﹣x2﹣2x+3；D(-1，4)；(2)、S﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），當(dāng)x=﹣時(shí)，S取最大值；(3)、∴P′（，），不在拋物線上

【解析】

試題分析：(1)、由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，則代入求得a，b，c，進(jìn)而得解析式與頂點(diǎn)D．(2)、由P在AD上，則可求AD解析式表示P點(diǎn)．由S△APE=PEyP，所以S可表示，進(jìn)而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值．(3)、由最值時(shí)，P為（﹣，3），則E與C重合．畫示意圖，P'過作P'M⊥y軸，設(shè)邊長通過解直角三角形可求各邊長度，進(jìn)而得P'坐標(biāo)．判斷P′是否在該拋物線上，將xP'坐標(biāo)代入解析式，判斷是否為yP'即可．

試題解析：(1)、∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，

∴， 解得：， ∴解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（﹣1，4）．

(2)、∵A（﹣3，0），D（﹣1，4）， ∴設(shè)AD為解析式為y=kx+b，有， 解得，

∴AD解析式：y=2x+6， ∵P在AD上， ∴P（x，2x+6），

∴S△APE=PEyP=（﹣x）（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），當(dāng)x=﹣時(shí)，S取最大值．

(3)、如圖1，設(shè)P′F與y軸交于點(diǎn)N，過P′作P′M⊥y軸于點(diǎn)M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3）， ∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，

∵PF∥y軸， ∴∠PFE=∠FEN， ∵∠PFE=∠P′FE， ∴∠FEN=∠P′FE， ∴EN=FN，

設(shè)EN=m，則FN=m，P′N=3﹣m． 在Rt△P′EN中， ∵（3﹣m）2+（）2=m2， ∴m=．

∵S△P′EN=P′NP′E=ENP′M， ∴P′M=． 在Rt△EMP′中

∵EM=， ∴OM=EO﹣EM=， ∴P′（，）．

當(dāng)x=時(shí)，y=﹣（）2﹣2+3=0.39≠， ∴點(diǎn)P′不在該拋物線上．