Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16．∠BAC的平分線AD交BC于D，經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的⊙O交AB于E，且點(diǎn)O在AB上．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連OD，先證明OD∥AC，再證明OD⊥DC．
（2）過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AB于G點(diǎn)．在直角三角形BDG中利用勾股定理求出CD．作OM⊥AF于M，在直角三角形OAM中利用勾股定理求出OA，則可求出AM，而AF=2AM．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD．（2分）
∴OD∥AC．（3分）
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC于D．
∴BC是⊙O的切線．（4分）

（2）解：過(guò)D作DG⊥AB于G，
∴DG=DC，AG=AC．（5分）
設(shè)DC=x，則BD=16-x，BG=8，
∴8²+x²=（16-x）²
∴x=6．（6分）
設(shè)半徑為r，則（12-r）²+6²=r²
∴r=7.5．
∴EG=3．（7分）
連接DE，DF，易證△DGE≌△DCF，
∴CF=3，
∴AF=9．（8分）

（2）證法2：（如圖）連OD，OF，作OM⊥AF于M；
設(shè)DC=x，（x的求法同于前面）
∴x=6；
∵OM⊥AF，OD⊥BC，則MC=OD=R，OM=DC=6，AM=12-R，
∴R²=（12-R）²+6²，
∴R=7.5，
∴AM=12-7.5=4.5，
∴AF=2AM=9．

證法3：（如圖）連EF，與OD交于H點(diǎn)，設(shè)DC=x
∴x=6，（求法同前）；
在Rt△BOD中，BO=20-R，OD=R，BD=10；
∴（20-R）²=R²+10²，
∴R=7.5，
∴AE=15；
∵EF=2FH=2CD=12，
在Rt△EAF中，AF²=AE²-EF²=15²-12²=81，
∴AF=9．

證法4，（如圖）連EF；設(shè)DC=x，
∴x=6，（求法同前）
∴EF=2FH=2CD=12；
∵S_△BEF+S_梯形EFCB=S_△ABC，

1

2

EF•BF+

1

2

(EF+BC)•(AC-AF)=

1

2

AC•BC，
∴AF=9．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握切線的判定定理，特別是要把證明切線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成垂直問(wèn)題；在幾何計(jì)算中，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)，充分利用勾股定理建立等量關(guān)系，解方程．這就是方程的思想在幾何中的運(yùn)用．