【題目】操作與證明:如圖1,把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起,使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合,點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上,連接AF.取AF中點(diǎn)M,EF的中點(diǎn)N,連接MD、MN.

(1)連接AE,求證:AEF是等腰三角形;

猜想與發(fā)現(xiàn):

(2)在(1)的條件下,請(qǐng)判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,得出結(jié)論.

結(jié)論1:DM、MN的數(shù)量關(guān)系是 ;

結(jié)論2:DM、MN的位置關(guān)系是 ;

拓展與探究:

(3)如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變,則(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明參見(jiàn)解析;(2)相等,垂直;(3)成立,理由參見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識(shí)證明出CE=CF,繼而證明出ABE≌△ADF,得到AE=AF,從而證明出AEF是等腰三角形;(2)DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等,利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直,利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì),及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論;(3)成立,連接AE,交MD于點(diǎn)G,標(biāo)記出各個(gè)角,首先證明出MNAE,MN=AE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結(jié)論,再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等,等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān)系得到DMN=DGE=90°.從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.

試題解析:(1)四邊形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD,B=ADF=90°,∵△CEF是等腰直角三角形,C=90°,CE=CF,BCCE=CDCF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,AE=AF,∴△AEF是等腰三角形;(2)DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等,DM、MN的位置關(guān)系是垂直;在RtADF中DM是斜邊AF的中線,AF=2DM,MN是AEF的中位線,AE=2MN,AE=AF,DM=MN;∵∠DMF=DAF+ADM,AM=MD,∵∠FMN=FAE,DAF=BAE,∴∠ADM=DAF=BAE,∴∠DMN=FMN+DMF=DAF+BAE+FAE=BAD=90°,DMMN;(3)(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立,連接AE,交MD于點(diǎn)G,點(diǎn)M為AF的中點(diǎn),點(diǎn)N為EF的中點(diǎn),MNAE,MN=AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,B=ADF,CE=CF,又BC+CE=CD+CF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,AE=AF,在RtADF中,點(diǎn)M為AF的中點(diǎn),DM=AF,DM=MN,∵△ABE≌△ADF,∴∠1=2,ABDF,∴∠1=3,同理可證:2=4,∴∠3=4,DM=AM,∴∠MAD=5,∴∠DGE=5+4=MAD+3=90°MNAE,∴∠DMN=DGE=90°,DMMN.所以(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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組別(萬(wàn)人)

組中值(萬(wàn)人)

頻數(shù)

7.5~14.5

11

5

14.5~21.5

6

21.5~28.5

25

28.5~35.5

32

3

上海世博會(huì)前20天日參觀人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖:

(1)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;
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1)直接寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸;

2)如圖2,連接BC,與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPFDE交拋物線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m;用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng);并求出當(dāng)m為何值時(shí),四邊形PEDF為平行四邊形?

3)如圖3,連接AC,在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使ACQ為等腰三角形,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2)求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式;

(3)將拋物線C沿x軸左右平移,記平移后的拋物線為C1,其頂點(diǎn)為P.

平移后,將PAB沿直線AB翻折得到DAB,點(diǎn)D能否落在拋物線C1上?

如能,求出此時(shí)頂點(diǎn)P的坐標(biāo);如不能,說(shuō)明理由.

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